사다리 타기는 정말 공평할까? 20만 번 돌려 본 자리별 확률

커피 내기, 청소 당번, 발표 순서를 정할 때 가장 먼저 꺼내는 게 사다리 타기예요. 그런데 사다리를 자주 타다 보면 "왠지 내 자리 바로 아래 칸이 자주 걸린다"는 느낌을 받을 때가 있어요. 기분 탓일까요? 직접 확인해 보려고 냅다 사다리와 같은 방식(세로줄 14칸, 가로줄은 이웃한 줄끼리 겹치지 않게 무작위로 배치)으로 사다리를 20만 번 만들어 보고, 출발한 자리마다 어디에 도착하는지 세어 봤어요.

5명 사다리, 자리별 도착 확률

결과 칸을 섞지 않은 보통 사다리 기준이에요. 5명이면 공평할 때 어느 칸이든 20%가 나와야 해요.

맨 왼쪽에서 출발하면 바로 아래 1번 칸에 떨어질 확률이 27.4%인데, 반대쪽 끝인 5번 칸은 13.7%밖에 안 돼요. 두 배 가까이 차이가 나요. 가운데 3번 자리만 거의 고르게 퍼져요. 4명 사다리에서도 같은 경향이 보여서, 1번 자리가 1번 칸에 떨어질 확률은 28.7%, 4번 칸은 22.4%였어요.

왜 바로 아래가 잘 걸릴까

사다리는 가로줄을 만날 때마다 한 칸씩 옆으로 옮겨 가는 구조예요. 한 번에 한 칸씩만 움직이니까 멀리 가려면 같은 방향의 가로줄을 여러 번 연달아 만나야 해요. 가로줄 수가 적을수록 출발점 근처에 머물 확률이 커지는 이유예요. 또 양 끝 자리는 한쪽으로만 움직일 수 있어서, 가운데 자리보다 치우침이 더 심하게 나타나요.

가로줄을 아주 많이 그리면 치우침은 줄어들어요. 하지만 사람이 손으로 그리는 사다리는 보통 가로줄이 10~20개 정도라서 치우침이 그대로 남아요. 결과를 미리 아는 사람이 자리를 고르면 유리해질 수 있다는 뜻이에요.

공평하게 타는 세 가지 방법

• 결과 칸을 가린 채로 섞기: 결과를 적은 뒤 순서를 무작위로 바꾸면, 사다리 모양과 상관없이 모두가 같은 확률을 가져요. 냅다 사다리 타기는 버튼을 누를 때 결과 칸의 순서를 컴퓨터가 섞기 때문에 일반 사다리에서도 결과 자체는 1/n로 공평해요.
• 원통형 사다리 쓰기: 맨 왼쪽과 맨 오른쪽 줄도 가로줄로 이어서 둥글게 만들면 양 끝이라는 개념이 사라져요. 같은 방식으로 4명 원통형 사다리를 20만 번 돌렸더니 어느 자리에서 출발해도 도착 분포가 24~26% 안에서 똑같았어요.
• 자리를 먼저 정하고 사다리를 나중에 그리기: 사다리 모양을 보고 자리를 고르면 안 돼요. 이름을 먼저 정해 두고 그다음에 가로줄을 그려야 해요.

이럴 땐 다른 도구가 더 편해요

사람이 많거나 결과에 가중치를 주고 싶다면 사다리보다 다른 방법이 깔끔해요. 당첨 비율을 직접 정하고 싶으면 칸마다 비중을 넣을 수 있는 돌림판이, 20명이 넘는 명단에서 몇 명만 뽑을 때는 당첨자 뽑기가 빨라요. 사다리는 모두가 화면을 보며 경로를 따라가는 재미가 있으니, 5~10명 정도의 내기에 쓰면 가장 좋아요.